Vi kan finne den nøyaktige metoden vi kan bruke online, tross alt er dette et vanlig 3D-trigonometri-problem. Jeg bruker Michael Geyer US DoT-rapport: Earth-Referenced Aircraft Navigation and Surveillance Analysis. Prinsippet er:

• De to DME-avstandene bestemmer to sfærer hvilket skjæringspunkt er en sirkel. Flyet er på denne sirkelen.

• Flyhøyden bestemmer en overflate (avhengig av hvordan høyden måles, kan det være et kvasiplan eller en overflate med konstant trykk) som krysser sirkelen på to punkter. Koordinatene til punktene kan beregnes fra de to DME-avstandene og høyden.

• DME-signaler på de to punktene er faktisk identiske, derfor må man eliminere etter en eller annen metode.

Kryss to kuler for å få en sirkel

Skråavstanden bestemt med DME forteller oss flyet er på overflaten av en kule sentrert ved DME-stasjonen, med radius lik skrå avstand. Ved å avhøre to DMEer blir to kryssende sfærer bestemt. Krysset er en sirkel (rosa sirkel i figuren nedenfor). Jo nærmere flyet er linjen som forbinder de to DME-stasjonene ( baseline ), jo mindre sirkel, ned til et enkelt punkt når flyet er nøyaktig på baseline.

Kryss sirkelen med en overflate for å få to punkter

Flyet flyr i en kvasi horisontal flyet. Dette planet krysser sirkelen på to steder (grønne punkter i figuren ovenfor) som er symmetriske med grunnlinjen og hvor flyet må være plassert. Ved å bruke den direkte informasjonen vi har (høyde og skrå rekkevidde), kan vi beregne koordinatene til de to punktene.

Eliminer spøkelsesplasseringen

På et gitt tidspunkt kunne flyet være plassert på begge punkter og mottar fortsatt de samme DME-signalene. I den matematiske løsningen vil dette vises når du bruker en funksjon som $ \ arcsin (x) $ , som gir to vinkler for samme x-verdi, f.eks. 40 ° (90 ° -50 °) og 140 ° (90 ° + 50 °).

Det er flere metoder for å eliminere den virtuelle posisjonen:

• Overvåke flyets fremgang: Hvis flyet flyr nordover, beveger toppunktet seg nordover mens bunnpunktet beveger seg sørover. Vi kan oppdage en slik ulogisk bane (f.eks. Ved hjelp av et prediktivt Kalman-filter).

• Bruk en tredje DME: Den tredje områdesfæren vil krysse de to andre på bare ett punkt.

• Bestem fly med peiling ved bruk av en VOR, fortrinnsvis sammen med en av DME.

I store fly, posisjon bestemmes ved hjelp av flere midler inkludert inerti og GNSS, så det er ikke vanskelig å vite hvor flyet er omtrent.

Bestemmelse av poengkoordinatene

DME / DME / Elevation-saken koker ned til:

• To DME-stasjoner $ \ liten U $ og $ \ liten S $ med kjente breddegrader, lengdegrader og høyder ( $ \ small L_U $ , $ \ small \ lambda_U $ , $ \ small h_U $ og $ \ small L_S $ , $ \ small \ lambda_S $ , $ \ small h_S $ ).
• Et fly A med kjent høyde ( $ \ small h_A $ ).
• To målte skrå avstander ( $ \ small d_ {UA} $ og $ \ small d_ {SA} $ )

$ \ small C $ er jordsenter (jordradius er $ \ liten R_e $ . Følgende metoden som er nevnt tidligere, utfører vi disse trinnene:

• Trinn 0: Konverter skråområder til vinkelavstand
• Trinn 1: Løs den sfæriske trekanten for hver stasjon
• Trinn 2: Bekreft at inngangene er konsistente og det finnes en løsning
• Trinn 3: Løs den sfæriske trekanten USA
• Trinn 4: Beregn flyets breddegrad og lengdegrad

Trinn 0: Konverter skråningsområder til vinkelavstand

Med kjente høyder og skråningsområder er det mulig å beregne vinkler $ \ small \ theta_ {SA} $ ( $ \ small \ widehat {SCA} $ ) og $ \ theta_ {UA} $ ( $ \ small \ widehat {UCA} $ ) mellom DME og fly. For hver DME $ \ small x $ ( $ \ small x $ er enten $ \ small U $ eller $ \ small S $ ):

$$ \ theta_ {xA} = 2 \ space \ arcsin \ venstre (\ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {(d_ {xA} -h_A + h_x) (d_ {xA} + h_A-h_x)} {(R_e + h_x) (R_e + h_A)}} \ høyre) $$

Etter konvensjon må vi navngi $ \ small U $ stasjonen som er vestover. Dette lar oss referere til flyets posisjon som "den sør for grunnlinjen".

Trinn 1: Løs den sfæriske trekanten for hver stasjon

Det første faktiske trinnet er å få vinkelen $ \ small \ theta_ {US} $ dannet av de to DME-stasjonene og jordsenteret:

$$ \ sin \ left (\ frac {1} {2} \ theta_ {US} \ right) = \ sqrt {\ sin ^ 2 \ left (\ frac {1} {2 } (L_S-L_U) \ høyre) + \ cos (L_S) \ cos (L_U) \ sin ^ 2 \ venstre (\ frac {1} {2} (\ lambda_S- \ lambda_U) \ høyre)} $$ span>

der $ \ small L_U $ og $ \ small L_S $ er breddegrader på $ \ small U $ og $ \ small S $ og $ \ small \ lambda_U $ og $ \ small \ lambda_S $ er lengdegrader på $ \ small U $ og $ \ small S $ .

Vi trenger å kjenne til en av azimutene ved endene av grunnlinjen mellom $ \ small U $ og $ \ small S $ :

$$ \ tan (\ psi_ {S / U}) = \ frac {\ cos (L_S) \ sin (\ lambda_S - \ lambda_U)} {\ sin (L_S) \ cos (L_U) - \ cos (L_S) \ sin (L_U) \ cos (\ lambda_S - \ lambda_U)} $$

Trinn 2: Bekreft at inngangene er konsistente og en løsning eksisterer

Hvis hellingsområdene er 10 NM og 15 NM, og den kjente avstanden mellom stati ons er 30 NM, så er det ingen faktisk løsning, noe må være galt. Dette trinnet kontrollerer om de to DME-områdekulene krysser hverandre. Vi har allerede beregnet vinkler $ \ small \ theta_ {UA} $ og $ \ small \ theta_ {SA} $ span> og den mellom stasjonene $ \ small \ theta_ {US} $ :

• Hvis $ \ small \ theta_ {UA} + \ theta_ {SA} < \ theta_ {US} $ , så skjæres ikke kulene (sentrene er for fjerntliggende)
• Hvis $ \ small \ left | \ theta_ {UA} - \ theta_ {SA} \ høyre | > \ theta_ {US} $ , så er kuler konsentriske, de krysser ikke.

Trinn 3: Løs den sfæriske trekanten USA

Nå som vi kjenner de tre sidene av trekanten $ \ small \ widehat {USA} $ , kan vi bestemme hvilken som helst av vinklene. Vi trenger bare vinkelen med toppunktet på en stasjon:

$$ \ cos (\ beta_U) = \ frac {\ cos (\ theta_ {SA}) - \ cos (\ theta_ {US}) cos (\ theta_ {UA })} {\ sin (\ theta_ {US}) \ sin (\ theta_ {UA})} $$

Trinn 4: Beregn fly med alle tilgjengelige data breddegrad og lengdegrad

Det er på tide å bestemme hvilken av de to flyposisjonene vi ønsker ved å velge den tilsvarende azimutvinkelen på stasjonen $ \ small U $ (det kan være på $ \ small S $ , men vi gjorde det forrige trinnet for $ \ small U $ ):

• Hvis $ \ small A $ er sør for $ \ small US $ baseline (forutsatt at $ \ small U $ er vest for $ \ small S $ ): $ \ small \ psi_ {A / U} = \ psi_ {S / U} + \ beta_U $

• Hvis $ \ small A $ er nord for $ \ small US $ baseline: $ \ small \ psi_ {A / U} = \ psi_ {S / U} - \ beta_U $ span>

Breddegrad for fly $ \ small L_A $ :

$$ \ sin (L_A) = \ sin (L_U) \ cos (\ theta_ {UA}) + \ cos (L_U) \ sin (\ theta_ {UA}) \ cos (\ psi_ {A / U}) $$

Lengdegrad for fly $ \ small \ lambda_A $ :

$$ \ tan (\ lambda_A - \ lambda_U) = \ frac {\ sin (\ psi_ {A / U}) \ sin (\ theta_ {UA})} {\ cos (L_U) \ cos (\ theta_ {UA}) - \ sin (L_U) \ sin (\ theta_ {UA}) \ cos (\ psi_ {A / U})} $$

Jeg la ut en Python-implementering på Stack Overflow.